宇宙崩塌：新发现的“无限”搅乱数学秩序

低保户也有人抢

两种新型“无限”概念搅乱数学秩序，或揭示隐藏的混沌真相。

去年冬天，在北极圈芬兰荒原的一场数学会议上，一群数学家聚在一起，思考一个宏大的问题：整个数学宇宙的命运。



气温零下20摄氏度，有人去滑雪，而Vienna University of Technology的集合论学者Juan Aguilera更愿意待在自助餐厅，一边撕着芬兰甜点pulla，一边与同行争论两个全新“无限”概念的本质。在他看来，这两个新想法可能带来巨大冲击，“只是我们还不知道具体会是什么”。

“无限”这个概念看似简单，实则千变万化。早在19世纪70年代，德国数学家Georg Cantor就证明了实数集合比整数集合“更大”，尽管它们都是无限集合。用最简明的话说，不管你怎么尝试把实数与整数一一对应，总会有实数被落下。也就是说，不是所有“无限”都一样，它们的大小与结构可能截然不同。

Cantor由此一路建造出越来越庞大的“无限”。他以实数集合为起点，构造出其所有子集的集合，再进一步取其子集，结果每次都得到一个“更大”的集合。他将这些越来越大的无限集合称为“基数”，这跟我们平时说的1、2、3这些“基数”不同。

集合论者在Cantor之后，定义了更多复杂得多的基数，有些甚至难以准确描述。但令人意外的是，这些所谓的“巨型基数”并非混乱无序，而是构成了一个层次分明的等级体系，彼此间可按复杂度与大小清晰排布，仿佛搭起了通向数学边界的高塔。

然而，Aguilera最近与University of Barcelona的Joan Bagaria、University of Hamburg的Philipp Lücke一起构造出的两个新基数，却偏偏不按常理出牌。他们似乎不愿安分地待在既有体系里，而是“爆炸式”地展开，衍生出一种全新类别的无限。这种陌生的混乱，让原本井然有序的数学宇宙多了几分不可控。

这是一个大胆而挑衅的结论。但在某些人眼中，它振奋人心。University of California, Irvine的逻辑学家Toby Meadows就表示：“我超喜欢这篇论文。这是一种我们之前从未接触过的全新洞察。”

但这也正是“研究无限”的难处所在。若说数学像是一块由共识缝合成的织锦，那么“更高阶的无限”就是那块织锦最边缘的破口。传统数学公理体系在这里常常失效，取而代之的是不断被创造、又时常崩塌的新公理。

在这片混沌之地，许多问题天生就无法被证明，怀疑与不确定弥漫在空气中。因此，并不是所有人都接受这两个新基数的重要性。Harvard University的Hugh Woodin就是一位坚定怀疑者。他如今正领导一个宏大的项目，试图构建整个数学宇宙的完整图景。他曾是Bagaria的博士导师、也是Aguilera早年的指导者。但他坦言：“孩子总是会长大，最终走上与你不同的路。”

大多数数学家并不会去研究这种“高空飞行”的集合论问题。他们依赖于九条被广泛接受的基本规则，称为ZFC体系(Zermelo-Fraenkel集合论与选择公理)，它构成了整个数学推理的大厦地基。这些规则无法被证明正确，只能被“默认接受”。

但1931年，德国数学家Kurt Gödel提出了一个震撼人心的结论：任何有趣的数学系统都是注定不完整的。总有一些“真实”的陈述是无法在当前体系下证明的。要想证明它们，就必须新增公理；但新增的公理又会催生新的未证命题，如此循环往复。如果有人想穷尽数学宇宙中的所有命题，他就必须不断构建新的公理系统，永无止境。

换句话说，数学宇宙——数学家们喜欢用V来表示它——本质上是无法彻底认知的。但集合论者不甘于此，他们想要尽可能逼近这个真实宇宙，建立一些便于研究的“模型宇宙”。这些模型提供了额外的公理，可以用来证明那些在ZFC体系下无法证明的命题，同时也确保这些新增公理不是随意拼凑的。“这些模型的加强，反过来会让基础数学变得更加清晰。”Meadows说。

Gödel最初构造了一个这样的模型——他称之为L，从空集开始，一层层构建更大的集合。这个模型虽然简单好用，但有个缺陷：它无法囊括“巨型基数”。也正因此，L被称作V的“内部模型”，是完整宇宙中的一个缩影。

20世纪，集合论者持续推动这个项目，构造出越来越大的基数：强基数、紧致基数、超紧致基数，甚至“巨大基数”。每一个新基数都要求引入一个新公理，然后再去验证这个新公理是否与ZFC体系一致。

奇妙的是，这些巨型基数依然呈现出出人意料的层级结构。每个更大的基数，能帮助数学家证明更多命题；而且只要某个基数与ZFC一致，就意味着整个塔中更小的基数也都是一致的。“你可能以为这就是一团乱麻，但事实并非如此。”Meadows说。

每当新基数被加入这座“无限之塔”，就必须构造出更复杂的内部模型。Bagaria解释说：“我们要尽量只加入那些‘刚刚够用’的元素，以确保目标基数能在最终模型中出现。”每建一个新模型，数学宇宙就拓展一分。

对Woodin来说，他的梦想是建构一个真正接近V的内部模型，能够囊括所有巨型基数。他称之为“终极L”。这个梦想听上去几乎不可能实现。按照Gödel的不完全性原理，要完成这件事，就需要构建无数个内部模型，每一个都包含一个难以言说的巨大基数。

但20年前，Woodin找到了一个“捷径”：只要构建到“超紧致基数”那一层，后面所有更高的基数都将“自动出现”。“你等于拿到了整个宇宙。”Woodin说，“简直就像魔法。”

不过，这一切的前提是数学宇宙必须结构良好，也就是说，所有集合都要“可由序数定义”，简称HOD。

Woodin曾提出两种可能性：V要么非常接近HOD，要么非常遥远，没有中间地带。Bagaria补充道：“如果发现一个破坏这个层级结构的东西，那其他部分很可能也会跟着瓦解。”也就是说，如果出现无法归入HOD的集合，整个系统可能会陷入混乱。“也许我们这个宇宙本来就由大量不可定义的东西组成。”Aguilera说。

不过Woodin认为，第一种可能性——也就是V接近HOD——才是正确答案。目前的证据也支持他的看法。至今还没有人找出一个与ZFC一致、但又无法被纳入塔中的巨型基数。

但Aguilera和他的合作者，可能正在改变这局面。

他们最近的工作似乎支持“数学更混乱”的观点。几十年来，尽管投入了大量努力，数学家在实现“终极L”计划上的进展却非常缓慢。就连Woodin本人也有过动摇，虽然他现在依然相信这个目标是可达成的。

此外，集合论者还发现了一些极端巨型基数，它们似乎脱离了HOD的框架，虽然目前只属极少数特例。但要定义这些基数，通常需要放弃ZFC中的一条基本公理——选择公理。而这对于许多数学家来说，是一个不可接受的代价。

这时，Aguilera、Bagaria与Lücke提出了另一种可能。他们没有抛弃任何公理，而是构造出两种全新的“无限”，并命名为“精确基数”和“超精确基数”。这两种基数最关键的一点，是它们不违反选择公理。

定义它们并不复杂，说到底，它们是现有某些巨型基数的更大版本。但它们却展现出了意想不到的特性。一开始，它们看起来也能被安放在“无限塔”的某个位置，按大小与复杂度来看也毫无违和感。

然而，当他们尝试将这些新基数与更小的基数结合时，局面突然失控。Bagaria解释说，通常情况下，如果你把两个HOD兼容的基数“相加”(是的，“无限”是可以相加的)，总和也不会跳脱出原本的层级结构。就像你给一千万亿加上一百，结果还是一千万亿，数量级没变。

可一旦把这些新基数与更小的基数相加，结果就“炸了”。Bagaria说：“这是前所未见的现象。”它暗示着一种超越现有想象的新巨型基数的存在——一种可能超出ZFC体系允许的“无限”。

“这完全打破了我们原本对基数之间关系的直觉。”Aguilera说。

“我们发现了一个全新的区域，那里的宇宙开始变得狂野、复杂，已经无法等同于HOD。”Bagaria补充说。而他认为，这样奇异的无限可能远不止这两种，还有更多隐藏在数学宇宙的暗角，等待人类去发现。

Aguilera甚至进一步比喻说，数学宇宙或许就像我们所处的物理宇宙，“现在看来，大部分宇宙或许都由我们看不见的东西组成。”他说的意思是，这个宇宙可能大部分由“数学暗物质”构成，我们尚未真正了解它们的存在。

尽管如此，这些发现并不意味着HOD猜想就被彻底推翻，也不代表Woodin的“终极L”计划宣告失败。事实上，Woodin早前也考虑过某种与“超精确基数”等价的构想，但当时他认为这种构想不符合ZFC，因此没被采纳。

现在，Aguilera团队的下一步，就是尝试证明他们所定义的两个新基数确实符合ZFC。

集合论的数学往往游走在“不可证明”的边界，与其说它像数学，不如说更像物理或生物。Aguilera解释说，你提出一个新概念，接着通过“实验”来检验它是否自洽、是否与已有理论一致。你可能一时无法证明它是真实的，但只要实验结果靠谱，也能提供有力支持。

Aguilera、Bagaria和Lücke已经给出了不少证据：他们的新基数在结构和行为上，与现有的巨型基数非常相似。定义本身也表明，如果某种已知的“无限”可以与ZFC共存，那“超精确基数”也应该是合理的。近期研究也支持那种已知无限的可一致性。

因此，他们认为，这些新基数或许就是关键证据：V与HOD相距甚远，数学宇宙并非整齐划一，而是充满混乱与未知。

不过，并非所有人都认同这个推论。University of California, Berkeley的集合论者Gabe Goldberg指出，虽然他们对ZFC一致性充满信心，但在研究“无限”时，意外随时可能发生。一些先验假设可能并不成立，一旦它们倒塌，整个论证体系可能会土崩瓦解。他表示，想要真正驳倒HOD猜想，仍需付出更多努力。

Woodin对此表示赞同：“我认为我们必须非常非常谨慎。”他说。他依然相信HOD离V不远，并打算继续推进这个数十年的宏图计划。目前他正在撰写一份“非常长的手稿”，详述他对“终极L”最新的理解。

而在另一方面，许多集合论者则对这两个新基数兴奋不已。对他们而言，混乱比秩序更值得期待。“说实话……如果终极L成功了，集合论的某个精彩章节也许就此终结。”Meadows说，“那就像亚历山大征服印度之后，发现前方再无疆土可征。”

或许，数学的版图远比我们想象的辽阔。Aguilera说：“我常告诉别人，数学是无限的，但时间不是。”所以，是时候出发了，去探索那些还未被定义的边界。